Faire le tour d’un contour pour savoir ce qui tourbillonne à l’intérieur : en une phrase, c’est tout le théorème de Stokes. Derrière cette idée simple se cache l’un des outils les plus utilisés de la physique de prépa. Le théorème d’Ampère, la loi de Faraday, une bonne partie de l’électromagnétisme de deuxième année reposent dessus.
Pourtant, en DS comme en khôlle, c’est souvent là que les points s’envolent. La formule est apprise par cœur, mais l’orientation est bâclée, les hypothèses oubliées, et Stokes se retrouve confondu avec Green-Ostrogradski. Reprenons les choses dans l’ordre.
Ce que dit exactement le théorème de Stokes
Prenez une surface S orientée, régulière, délimitée par une courbe fermée C (on note C = ∂S, « le bord de S »). Soit F un champ de vecteurs de classe C1 sur un ouvert qui contient S. Alors :
∮C F · dℓ = ∬S (rot F) · n dS
À gauche, la circulation de F le long du contour. À droite, le flux du rotationnel de F à travers la surface. Le théorème relie donc une grandeur calculée uniquement sur le bord à une grandeur qui « voit » tout l’intérieur.
Un détail de l’énoncé compte autant que la formule : les deux orientations ne sont pas indépendantes. Le sens de parcours de C impose le sens de la normale n, par la règle de la main droite. Les doigts suivent le contour, le pouce donne n. Changez l’un sans changer l’autre, et vous obtenez un signe faux.
Pourquoi c’est vrai : l’intuition des petits tourbillons
Le rotationnel a une interprétation très concrète. Posez un minuscule moulinet dans un écoulement : s’il se met à tourner, c’est que le champ de vitesse a un rotationnel non nul à cet endroit. Plus précisément, la circulation de F sur une toute petite boucle d’aire dS vaut (rot F) · n dS. Le rotationnel mesure la circulation locale, par unité de surface.
Découpez maintenant S en une multitude de petits carreaux, tous parcourus dans le même sens. Une arête intérieure est commune à deux carreaux voisins, qui la parcourent en sens opposés : leurs contributions s’annulent exactement. Quand on additionne tout, il ne reste que les arêtes du bord, c’est-à-dire la circulation sur C. La somme des petites circulations, c’est le flux du rotationnel. Le théorème est là.
Ce raisonnement donne au passage une conséquence très utile : le flux de rot F ne dépend que du contour, pas de la surface choisie pour s’appuyer dessus. Une calotte, un disque plat, une surface en forme de sac : tant qu’elles ont le même bord, le résultat est le même. (C’est cohérent avec div(rot F) = 0.) En pratique, choisissez toujours la surface la plus simple, en général un disque.
Dans le plan, le théorème prend la forme de la formule de Green-Riemann, que vous rencontrerez en mathématiques : ∮C (P dx + Q dy) = ∬D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dx dy. Même idée, même origine.
Là où vous allez vraiment l’utiliser : Ampère et Faraday
En régime stationnaire, l’équation de Maxwell-Ampère se réduit à rot B = μ0 j. Appliquez Stokes sur un contour fermé, et vous obtenez le théorème d’Ampère : ∮ B · dℓ = μ0 Ienlacé. Pour un fil rectiligne infini, un cercle de rayon r centré sur le fil donne directement B × 2πr = μ0 I, soit B = μ0 I / (2πr). Trois lignes de calcul au lieu d’une intégrale de Biot et Savart.
Même mécanique avec l’équation de Maxwell-Faraday, rot E = −∂B/∂t. Sur un contour fixe, Stokes donne ∮ E · dℓ = −dΦ/dt, où Φ est le flux magnétique à travers une surface qui s’appuie sur le contour. C’est la loi de Faraday, e = −dΦ/dt, au cœur de l’induction. Et le signe moins, celui de la loi de Lenz, n’a de sens que si l’orientation du circuit et celle de la normale sont cohérentes.
Les trois erreurs qui coûtent des points
1. Orienter au hasard. Dans le théorème d’Ampère, un courant compte positivement s’il traverse la surface dans le sens de n, donc dans le sens donné par la main droite à partir du sens de parcours. Annoncez votre orientation sur la copie, avec un schéma : les correcteurs le valorisent, et cela vous protège des erreurs de signe.
2. Confondre Stokes et Green-Ostrogradski. Le moyen mnémotechnique tient en deux mots. Un contour fermé, bord d’une surface ouverte : c’est Stokes, avec le rotationnel. Une surface fermée, bord d’un volume : c’est Green-Ostrogradski, avec la divergence.
3. Oublier les hypothèses. Le champ doit être C1 sur toute la surface. Le contre-exemple classique est le champ plan F = (−y, x) / (x2 + y2). Son rotationnel est nul partout où il est défini, et pourtant sa circulation sur le cercle unité vaut 2π, et non 0. L’explication : il n’est pas défini en l’origine, qui se trouve dans tout disque bordé par ce cercle. C’est une question qu’un khôlleur adore poser.
Pour aller plus loin
Cet article développe notre vidéo sur le théorème de Stokes, publiée sur Instagram. Retrouvez chaque semaine de nouvelles notions de maths et de physique expliquées en moins d’une minute sur @missionprepa_scientifiques, et nos contenus plus longs sur la chaîne YouTube Mission Prépa.
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