Quatre lignes suffisent à décrire la lumière, les ondes radio, le fonctionnement d’un transformateur et la boussole qui s’oriente vers le nord. Ce sont les équations de Maxwell, écrites dans les années 1860 et jamais démenties depuis. En deuxième année de prépa scientifique, en MP, PC, PSI comme en PT, elles sont la colonne vertébrale du cours d’électromagnétisme.
Le problème, c’est qu’on les apprend souvent comme une liste à réciter. Le jour de la khôlle, l’examinateur ne demande pas de les écrire : il demande ce qu’elles veulent dire, d’où elles viennent et ce qu’on en tire. Prenons-les une par une, puis voyons ce qu’elles racontent ensemble.
Les quatre équations de Maxwell, une par une
Dans le vide, en présence d’une densité volumique de charge ρ et d’une densité de courant j, les champs électrique E et magnétique B obéissent à quatre relations locales.
div E = ρ / ε0 · div B = 0
rot E = −∂B/∂t · rot B = μ0 j + μ0ε0 ∂E/∂t
Maxwell-Gauss dit que les charges sont les sources du champ électrique : là où ρ est positif, les lignes de champ divergent. Maxwell-Thomson, ou équation du flux magnétique, affirme l’inverse pour B : sa divergence est nulle partout, ce qui traduit l’absence de « charge magnétique ». Les lignes de champ magnétique se referment toujours sur elles-mêmes.
Maxwell-Faraday décrit l’induction : un champ magnétique qui varie dans le temps crée un champ électrique qui « tourne ». Maxwell-Ampère, enfin, indique que B tourne autour des courants, mais aussi autour d’un champ électrique variable. Ce second terme, μ0ε0 ∂E/∂t, est l’apport décisif de Maxwell : on l’appelle le courant de déplacement.
Des formes locales aux formes intégrales
Ces équations relient les dérivées des champs en un point. Pour calculer un champ dans un problème concret, on les intègre grâce à deux théorèmes d’analyse vectorielle. Le théorème de Green-Ostrogradski transforme une divergence intégrée sur un volume en flux à travers la surface fermée qui le délimite. Appliqué à Maxwell-Gauss, il donne le théorème de Gauss : le flux de E sortant d’une surface fermée vaut Qint / ε0.
Le théorème de Stokes joue le même rôle pour les rotationnels. Appliqué à Maxwell-Faraday, il donne la loi de Faraday, e = −dΦ/dt ; appliqué à Maxwell-Ampère en régime stationnaire, il donne le théorème d’Ampère. Retenez la logique plutôt que les formules : divergence avec Ostrogradski et une surface fermée, rotationnel avec Stokes et un contour fermé.
Ces formes intégrales sont redoutables d’efficacité quand le problème a des symétries. Pour une distribution à symétrie sphérique, une sphère de Gauss suffit ; pour un fil infini, un cercle centré sur le fil. Le travail préalable sur les symétries et les invariances n’est donc pas une formalité : c’est lui qui rend le calcul possible.
Ce que Maxwell a vraiment ajouté : le courant de déplacement
Avant Maxwell, l’équation d’Ampère s’écrivait rot B = μ0 j. Prenez-en la divergence : comme la divergence d’un rotationnel est toujours nulle, on obtiendrait div j = 0. Or la conservation de la charge impose div j + ∂ρ/∂t = 0. Pendant la charge d’un condensateur, par exemple, ρ varie sur les armatures et la relation sans correction devient fausse.
Ajoutez le terme μ0ε0 ∂E/∂t, utilisez Maxwell-Gauss, et la conservation de la charge est retrouvée exactement. C’est une démonstration très classique à l’oral : savoir la refaire en trois lignes montre que vous comprenez la cohérence des équations, et non seulement leur forme.
Surtout, ce terme change tout dans le vide. Sans charge ni courant, les deux équations en rotationnel se répondent : un champ électrique variable crée un champ magnétique, qui crée à son tour un champ électrique. En combinant les équations, on obtient l’équation de d’Alembert, avec une vitesse de propagation c = 1/√(μ0ε0) ≈ 3,00 × 108 m·s−1. C’est en constatant cette valeur que Maxwell a compris que la lumière est une onde électromagnétique.
Les erreurs qui reviennent en khôlle
Oublier le cadre de l’ARQS. Dans l’approximation des régimes quasi stationnaires, utilisée pour l’induction et les circuits, on néglige le courant de déplacement devant le courant de conduction. Ce n’est légitime que si les dimensions du système sont petites devant la longueur d’onde associée. Un examinateur attend que vous énonciez cette hypothèse avant de l’utiliser, pas que vous rayiez un terme sans justification.
Confondre formes locales et intégrales. Écrire « div E = Qint / ε0 » est une faute fréquente qui coûte cher : une divergence est une grandeur locale, homogène à une densité. La charge totale n’apparaît qu’après intégration.
Négliger les signes et les orientations. Le signe moins de Maxwell-Faraday, qui traduit la loi de Lenz, n’a de sens qu’avec une orientation cohérente du contour et de la surface. C’est exactement la même vigilance que pour le théorème de Stokes : annoncez vos orientations sur la copie, schéma à l’appui.
Pour aller plus loin
Cet article prolonge notre vidéo sur les équations de Maxwell. Retrouvez chaque semaine une nouvelle notion de maths ou de physique expliquée en moins d’une minute sur @missionprepa_scientifiques, et nos contenus plus longs sur la chaîne YouTube Mission Prépa.
Connaître les équations de Maxwell ne suffit pas : il faut savoir les mobiliser vite et proprement, à l’écrit comme en khôlle. C’est ce que nous travaillons avec nos étudiants en prépa scientifique, en MP, PC, PSI ou PT : cours particuliers et khôlles de physique avec des normaliens et des ingénieurs, pour viser l’X, les ENS, Mines-Ponts ou Centrale.