Les probabilités sont une notion importante en prépa ECG car elles représentent au moins un tiers du programme de Mathématiques et constituent l’une des notions les plus discriminantes aux concours parmi les candidats. En effet, beaucoup de candidats sont rebutés voire apeurés à l’idée de se pencher sur un sujet de probabilités discrètes. Et pourtant, bien que certains énoncés puissent être impressionnants, il n’est pas difficile de prendre des points. Cet article regroupe donc des questions qui, bien que faciles, sont, trop souvent, négligées par les candidats alors qu’ils pourraient leur permettre d’obtenir de précieux points. Apprenons à repérer ces questions qui, rien qu’à la lecture, peuvent être traitées !
Les probabilités totales et les événements à négation
Il ne fait guère de doute, les probabilités totales demeurent une question centrale des exercices de probabilités aux concours HEC mais elles ne sont jamais traitées et réussies par l’entièreté des candidats et même plus, nombreux sont ceux qui passent à côté de ces points précieux. Prenons un exemple et tirons-en certaines conclusions.
Exemple pratique
Analyse de la question
L’énoncé est dense et cherche clairement à nous perdre. En revanche, il suffit de lire la question 2 pour se douter que l’on veut nous mener vers une formule de probabilités totales. En effet, lorsque l’on cherche à exprimer une probabilité unique c’est-à-dire sous la forme de P(En), 𝑃(𝐴n), 𝑃(Bn) généralement cela peut advenir d’une loi usuelle, d’une ligne conditionnelle ou d’une formule des probabilités totales. De plus, dans notre cas, l’expression de En en fonction de ses rangs précédents avec la présence d’une combinaison linéaire indique clairement la présence d’une union d’événements liés. Dès lors, nous pensons à la formule des probabiltés totales et de ce fait au système complet d’événements que nous avons à déterminer. Dans certains cas, la formule des probabilités totales peut être difficile à appliquer en revanche, le système complet d’événements rapporte des points et est souvent bien plus facile à trouver.
Question complémentaire : déterminer 𝐏(𝐄𝟑)
Ajoutons un petit cas particulier qu’il est important de savoir traiter lorsque le cas se reproduit. On nous demande de déterminer P(E3) or l’événement E3 est exprimé par une négation, il est donc plus simple dans cette situation, habituellement, de passer par l’événement contraire pour, par la suite, exprimer cette probabilité.
Deux démonstrations récurrentes aux concours
1 – Etablir que : ∀𝒏 ∈ ℕ, 𝑷(𝑿 = 𝒏) = 𝑷(𝑿 ≥ 𝒏) − 𝑷( 𝑿 ≥ 𝒏 + 𝟏)
Cette égalité vient d’un résultat qui, classique, est bien souvent oublié par les candidats. Or, elle repose uniquement sur du programme de première année et tombe presque tous les ans dans chaque sujet de Maths Appliquées ! Que ce soit en maths EDHEC, EML, I ou II.
L’idée est simplement d’écrire une ligne conditionnelle que l’on peut retrouver directement par la lecture de ce qu’on veut démontrer. En fait, raisonnons par une courte et brève analyse-synthèse, en écrivant ce que l’on veut démontrer de cette manière.
- ∀𝒏 ∈ ℕ, 𝑷(𝑿 ≥ 𝒏) = 𝑷(𝑿 = 𝒏) + 𝑷( 𝑿 ≥ 𝒏 + 𝟏).
Il est dès lors aisé de repasser aux événements avec une union disjointe.
- (𝑿 ≥ 𝒏) = (𝑿 = 𝒏) ∪ ( 𝑿 ≥ 𝒏 + 𝟏)
Ainsi, pour établir l’égalité, il suffit de remonter le raisonnement que nous venons d’effectuer, c’est la partie synthèse.
2 – Déterminer 𝑃(𝑋 = 𝑌) avec X et Y deux variables aléatoires indépendantes et suivant la même loi
Pour cela, il convient de repartir d’une ligne conditionnelle afin d’exprimer, avant le passage à la probabilité, l’événement en fonction d’autres. On peut dès lors écrire l’événement (𝑋 = 𝑌) de cette manière :
- (𝑋 = 𝑌) = ⋃𝑋(𝑤) ((𝑋 = 𝑘) ∩ (𝑌 = 𝑘))
Puis en passant à la probabilité, par incompatibilité et par indépendance :
- 𝑃(𝑋 = 𝑌) = Σ𝑋(𝑤)𝑃(𝑋 = 𝑘)𝑃(𝑌 = 𝑘)
Vous l’aurez compris, l’objectif en probabilité, avant la compréhension et la réussite d’un exercice, est de savoir repérer les questions qui peuvent se faire sans réel niveau mathématiques mais uniquement par l’analyse du sujet et un travail méthodique sur cette notion.
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