Dans cet article, nous attirons votre attention sur deux exercices d’algèbre linéaire assez atypiques mais qui, lorsqu’ils sont maitrisés, permettent une compréhension totale de cette notion importante. L’un est l’exercice 3 de l’EMLYON ECE 2015, celui-ci a dû choquer les candidats de cette année tant sa difficulté peut se rapprocher d’un exercice de parisienne cependant, une fois un déblocage effectué il en devient trivial. L’autre, l’EDHEC ECE 2017 exercice 2, est bien plus simple mais les concepteurs attirent nos regards sur une question en particulier qui permet ensuite d’avancer dans l’exercice, sans celle-ci traitée correctement l’entièreté de l’exercice n’est pas faisable.
Commençons par le plus difficile, EMLYON 2015 ECE : EXERCICE 3
Énonce de l’exercice
Analyse souple de l’exercice
Naturellement, comme dans bon nombre d’exercice d’algèbre classique, on s’intéresse à un endomorphisme f de E avec Dim(E) = 3. L’énoncé donne des données dont on aura besoin durant toutl’exercice, tenir une feuille au brouillon où l’on note toutes les données peut être, d’ores et déjà, une bonne stratégie pour bien débuter l’exercice. Après les avoir parcourues, les candidats aux yeux les plus aiguisés auront remarqué que la dernière donnée est un polynôme annulateur. Ils peuvent, dès lors c’est-à-dire avant d’avoir regardé les questions, déduire les valeurs propres (vp) possibles de f.
Ensuite, après avoir lu les questions, on remarque assez facilement que la question 4 est une analogie de la question 1.a) et 1.b) ; la question 2 est une déduction de la 1.a) et 1.b) ainsi que de la dernière donnée ; la question 3) se déduit de la 2) en étant une démonstration de cours ; la 5) nécessite l’utilisation des données de la 4.a) ; la 6.a) est bien trop difficile pour un EML, elle irait parfaitement dans un HEC compte tenu de son excentricité ; la 6.b) est classique ; la 7 est du cours ; le reste est assez simple pour les candidats entrainés sur les sujet EML.
Conclusion, seulement 3 questions sont faisables si l’on n’a pas réussi à rentrer dans l’exercice ce qui est extrêmement discriminant. Sa réelle difficulté réside dans le fait que généralement en algèbre linéaire les concepteurs font intervenir des matrices pour rendre la notion moins abstraite, ce qui, ici, n’est pas le cas.
Analyse détaillée de l’exercice
- Afin de correctement rentrer dans l’exercice il était nécessaire de répondre correctement à la question 1 qui était assez difficile mais pas impossible. La négation de la question indique au candidat qu’il se doit d’utiliser le raisonnement par l’absurde – Supposer f bijectif. Une fois que cela est fait l’idée est de composer par la réciproque dans la troisième donnée pour arriver in fine à une négation. Une fois que cela est réussi on peut déduire, comme f n’est pas bijectif, que 0 est vp et la suite de la question.
- La question 2 est, de ce fait, beaucoup plus simple, d’après la troisième donnée 0 est l’unique vp possible et d’après la 1 elle est vp donc sp(f) = {0} CQFD.
- Démonstration classique de cours toutefois la difficulté advient de la rédaction car il faut ici raisonner avec des applications et non des matrices.
- Analogue à la 1 : Absurde + composer par (f^2 + i)^-1 à droite dans la troisième donnée.
- Composer par f, simplement, dans les données de la 4.
- Passer la question 6.a) qui nécessite beaucoup trop d’intuition pour un EML. Pour ce qui est de la b, il suffit de composer par f la base C et d’exprimer ses vecteurs en fonction d’eux-mêmes.
- DU COURS !!! Dim(M3(R)) = 9 !
- Questions qui, avec de l’entrainement, finissent par devenir assez classiques. Voir corriger.
Ainsi, l’exercice 3 de l’EML ECE 2015 fut vraisemblablement une torture pour les candidats de cette année car on les a poussés à raisonner de manière différente en rendant la notion, encore plus qu’elle ne l’est déjà, abstraite. Peu de candidat ont dû s’en tirer indemne. Cependant, il est un très bon entrainement pour les candidats voulant s’entrainer sur des exercices EML plus discriminant voire de l’algèbre de parisienne.
Pour consolider votre travail, l’exercice 2 de l’EDHEC ECE 2017
En réalité, dans cet exercice, nous allons nous intéresser qu’à une seule question qui a mené la vie dure à bon nombre de candidat en 2017. L’exercice, en soi, n’est pas difficile. Il est même très classique bien qu’il fasse intervenir une intégrale et des polynômes mais une astuce est à retenir !
Énonce de l’exercice
Analyse du sujet
Ici, de manière assez classique, l’énoncé place le candidat dans l’espace vectoriel de fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2 que l’on nomme E. A première vue les questions sont très classiques et l’exercice apparaît alors facile. Cependant, dès la question 1.b), les candidats remarquent facilement toute la discrimination dont cet exercice fait preuve.
Dans la 1.b), naturellement tous les candidats vont s’intéresser et calculer Փ(e0). Cela donne de fait, dans l’intégrale e0(x+t). La difficulté est exactement à cet endroit. Que vaut e0(x+t) ? 1 x (x+t) certainement pas ! Utilisons un exemple plus simple pour comprendre : soit f(x) = 4x alors f(5) = 20, f(xpl) = 4xpl
De même, soit f(x) = 4 alors f(5) = 4, f(a) = 4, f(xpl) = 4 LA FONCTION EST CONSTANTE.
Dans notre exercice, l’énoncé donnait e0(t) = 1 de ce fait e0(x+t) = 1.
Conclusion : Le simple fait de remarquer ça permet de très bien réussir l’exercice. Dans le cas contraire, ça se compliquait grandement et l’exercice se loupait rapidement.
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